DIVISIÓN DE POLINOMIOS
1. INTRODUCCIÓN
La división es una operación arimética que cuenta con elementos como Dividendo (D), divisor (d), cociente (q) y residuo.
Representación esquemática llamada también identidad fundamental de la división.
D = d*q + r
La división opera de manera similar con números que con polinomios. La división entre polinomios tiene la peculiaridad de respetar el grado a la cual están asociados los polinomios.
2. IDENTIDAD FUNDAMENTAL
Dado los polinomios D(x) y d(x) de grados positivos, la división denotada por D(x)/d(x) es un operación algebraica que consiste en hallar otros dos únicos polinomios q(x) y R(x), talque.
D(x)=d(x).q(x)+R(x)
Donde:
D(x): polinomio dividendo
d(x): polinomio divisor
q(x): polinomio cociente
R(x): polinomio residuo
Dejo un video en donde expreso más sobre este tema.
3. PROPIEDADES DE GRADO
Teniendo la identidad fundamental de la división se tiene algunas consideración en cuanto a los grados de los polinomios.
D(x)=d(x).q(x)+R(x)
1. El grado del dividendo (D°) es mayor o igual al grado del divisor y este mayor o igual a uno.
D°>= d°>=1
2. El grado del residuo (R°) es menor que el grado del divisor (d°) o en todo caso el residuo es cero y la división es llamada exacta.
R°<d° o R=0
Si el residuo es cero entonces se dice que.
a) d(x) divide exactamente a D(x)
b) d(x)= es factor de D(x)
c) D(x)= es divisible por d(x)
4. MÉTODOS
Existen tres métodos para dividir polinomios. Estos son el método tradicional o común, el método de Horner y el método de Ruffini.
Se utilizará un división como ejemplo para los métodos que es el siguiente problema.
Recomendación: Siempre tener los polinomios ordenados decrecientemente.
4.1 TRADICIONAL
Para resolverlo con este método tenemos que recordar los procedimientos que haciamos con números, es decir partiendo de ubicar valores en el cociente con la condición de luego multiplicar con los términos del divisor y hacer concidir con el primer término del dividendo. Luego se resta el polinomio obtenido con el dividendo. Acto seguido se baja el término siguiente que no fue tomado en cuenta en la resta. Este procedimiento se repite hasta que el grado del residuo quede menor que el divisor.
q(x)=x^3 + x^2 - 2x -1
R(x) = +4
4.2 HORNER
Para aplicar este método se debe seguir los siguientes paso.
a) ubicar los polinomios de la siguiente manera.
la línea segmentada se ubica de acuerdo al grado del dividendo quedan a la derecha de la línea divisoria.
El divisor ocupa dos espacios, en donde la primera parte, que es el coeficiente principal no cambia de signo y los demas elementos van abajo, pero esto si cambian de signo. Cabe resaltar que el divisor es ubica de arriba hacia abajo.
b) Se divide los primeros coeficientes de los polinomios y se va obteniendo el cociente. Luego se multiplica con los coeficiente del divisor que cambiaron de signo, finalmente se suma.
c) Cuando ya no haya término para dividir quiere decir que hemos llegado a la zona de residuos, en donde se sumarán los valores de forma vertical obteniendo así los coeficientes del R(x).
Se obtiene:
q(x)=x^3 + x^2 - 2x -1
R(x) = +4
 |
| Otro ejemplo. |
4.3 RUFFINI
Es un caso particular del método de Horner y se aplica cuando el divisor es de primer grado o transformable a un polinio lineal.
El esque que maneja este método es el siguiente.
La resolución del problema es el siguiente.
Se obtiene:
q(x)=x^3 + x^2 - 2x -1
R(x) = +4
Hay que resaltar que este ejemplo es uno de los más completo para el método, ya que cuando el divisor tiene coeficiente principal mayor que uno (no es mónico) al final se tiene que dividir por dicho coeficiente al cociente obtenido.
Puede ver más en los siguientes videos.
5. TEOREMA DEL RESTO
El objetivo es hallar el resto de una división sin efectuarla. El teorema se anuncia así: si P(x) es un polinomio de grado n>=2, es el residuo de dividir P(x)/(x-m).
P(x)/(x-m) <-> R=P(m)
Se puede expresar de otra manera y se enuncia como sigue.
Sea P(x) un polinomio de grado n>=2. El resto de dividir p(x) por (ax+b); con "a" diferente de cero, viene dado por.
R(x) = P(-b/a)
Es decir:
P(x)/(ax+b) <-> R(x)=P(-b/a)
Pasos generales.
a) El divisor se iguala a cero.
b) Se elige una variable convenientey se despeja esta variable.
c) La variable elegida se busca en el dividendo y se reemplaza por su equivalente, luego se realizan las operaciones indicadas y obtenemos el resto.
d) Debe tenerse presente que, en una división inexacta, el grado del residuo siempre es menor que el grado del divisor.
En el siguiente video podrá averiguar más sobre este tema del teorema del resto.
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