Divisibilidad de polinomios

Divisibilidad de polinomios

Al igual que con números cuando hablamos de divisibilidad o divisible hace referencia a divisiones exactas (resto igual a cero), con polinomios también se mantiene la idea, es decir podemos hacer una analogía de trabajo con números y polinomios en cuanto a la divisibilidad.

Sin embargo hay diferencias, la diferencia está en que con lo polinomios nos fijamos en los grados o grados absolutos que poseen (esto lo vimos en el tema de polinomios). Para dividir polinomios el númerador debe tener mayor o igual grado que el polinomio del denominador.

A continuación se muestra la identidad fundamental de la división para polinomios divisibles.

P(x) = d(x)*q(x) + R(x)

donde:

P(x): Polinomio dividendo

d(x): Polinomio divisor

q(x): polinomio cociente

R(x): Polinomio residuo

Si P(x) y d(x) son divisibles entonces el R(x) = 0, quedando.

P(x) = d(x)*q(x)

Se lee:

P(x) es divisible por d(x)

La división de P(x) y d(x) es exacta

d(x) divide exactamente a P(x)

d(x) es factor de P(x)

d(x) es divisor de P(x)

Es importante saber como se efectua la división de polinomio. Teoremas como la del resto son escenciales para la resolución de problemas.

Ejemplo.

Si P(x) = x^3 + x -10 y f(x) = x-2, ¿P(x) es divisible por f(x)?

Rpta: Aplicando el teorema del resto, como R(x) es cero, entonces P(x) es divisible por f(x).

Se presentan dos teoremas muy importantes para resolver los ejercicios.

Teorema 1. Teorema del factor

Un polinomio P(x) no constante se anula para x=a, si y solo si P(x) es divisible por (x-a). Luego (x-a) es un factor de P(x).

Como se puede apreciar, este teorema está basado en el teorema del resto.

Teorema 2. Teorema de factores primos entre si (PESI)

Los números PESI son aquello que solo comparten a la unidad como factor común. Con los polinomios pasa lo mismo dos polinomios son PESI si comparten a la unidad como factor común.

El polinomio P(x) es divisible separadamente por los binomios (x-a) y (x-b) con a diferente de b si y solo su P(x) es divisible por el producto (x-a)*(x-b), siendo (x-a) y (x-b) PESI. Dicho de manera inversa también se cumple.